MATEMATICAS 1

¿Cuales son los simbolos de agrupación?

Escrito por iitzyochoaad 29-08-2010 en General. Comentarios (5)
Símbolos y términos específicos

Entre los símbolos algebraicos se encuentran números, letras y signos
que representan las diversas operaciones aritméticas. Los números
son, por supuesto, constantes, pero las letras pueden representar
tanto constantes como variables. Las primeras letras del alfabeto se
usan para representar constantes y las últimas para variables.

Operaciones y agrupación de símbolos

La agrupación de los símbolos algebraicos y la secuencia de las
operaciones aritméticas se basan en los símbolos de agrupación, que
garantizan la claridad de lectura del lenguaje algebraico. Entre los
símbolos de agrupación se encuentran los paréntesis ( ), corchetes [ ],
llaves { } y rayas horizontales —también llamadas vínculos— que
suelen usarse para representar la división y las raíces, como en el
siguiente ejemplo:

Los símbolos de las operaciones básicas son bien conocidos de la
aritmética: adición (+), sustracción (-), multiplicación (×) y división
(:). En el caso de la multiplicación, el signo `×' normalmente se omite
o se sustituye por un punto, como ena ·b. Un grupo de símbolos
contiguos, comoabc, representa el producto de a, b yc. La división se
indica normalmente mediante rayas horizontales. Una raya oblicua, o
virgulilla, también se usa para separar el numerador, a la izquierda de
la raya, del denominador, a la derecha, en las fracciones. Hay que
tener cuidado de agrupar los términos apropiadamente. Por ejemplo,

ax+ b/c- dy indica que axy dy son términos separados, lo mismo
queb/c , mientras que (ax +b)/(c -dy) representa la fracción:
Prioridad de las operaciones

Primero se hacen las multiplicaciones, después las divisiones,
seguidas de las sumas y las restas. Los símbolos de agrupación
indican el orden en que se han de realizar las operaciones: se hacen
primero todas las operaciones dentro de un mismo grupo,
comenzando por el más interno. Por ejemplo:

 
Otro ejemplo
 
(
)
(
)
{
}
{
}
[
]
c
2
b
a
a
2
c
a
c
a
2
c
6
+
+
+
+
+
=
Se resuelve primero las expresiones
)
c
a
(+
,{
}
b
a+

, por ser los
signos de agrupación mas internos, obteniendo la siguiente
expresión:

(
) {
}
[
]
c
2
c
a
a
a
2
c
a
c
a
2
c
6
+
+
+
=
Luego suprimimos el paréntesis y las llaves, obteniendo:
[
]
c
2
c
a
a
2
c
a
c
a
2
c
6
+
=
Por último se suprime el signo más externo en este en caso el
corchete
c
2
c
a
c
2
c
a
c
a
2
c
6
+
+
+
+
+
+
+
=
Y sumando los términos semejante el resultado es:
c
7
a
6+

Proposición

Escrito por iitzyochoaad 29-08-2010 en General. Comentarios (0)

Proposiciones

Formalmente, se define una proposición como un enunciado declarativo que puede ser verdadero o falso, pero no ambos a la vez. Las proposiciones se representan mediante variables proposicionales simbolizadas mediante letras. Con la combinación de variables proposicionales y conjunciones se obtienen fórmulas sentenciales o sentencias. Estas pueden ser:

Tautología: es la sentencia que es verdadera.
Contradicción: es la sentencia que es falsa.
Indeterminación: es la sentencia que ni es verdadera ni falsa.

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Proposiciones y operaciones lógicas

Una proposición o enunciado es una oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez, La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática. A continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no válidas, y se explica el porqué algunos enunciados no son proposiciones; Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula, dos puntos y la proposición propiamente dicha.
Ejemplo:

p: La tierra es plana.
q: −17 + 38 = 21
r: x > y-9
s: El Morelia será campeón en la presente temporada de Fut-Bol.
t: Hola ¿como estas?
w: Lava el coche por favor.

Los incisos p y q sabemos que pueden tomar un valor de falso o verdadero, por lo tanto son proposiciones validas. El inciso r también es una proposición valida, aunque el valor de falso o verdadero depende del valor asignado a las variables x y y en determinado momento. La proposición del inciso s también esta perfectamente expresada aunque para decir si es falsa o verdadera se tendría que esperar a que terminara la temporada de fut-boll. Sin embargo los enunciados t y w no son válidos, ya que no pueden tomar un valor de falso o verdadero, uno de ellos es un saludo y el otro es una orden.
Conectivos lógicos y proposiciones compuestas

Existen conectores u operadores lógicos que permiten formar proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones).
Los operadores o conectores básicos son:

Operador and (y)

Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se pueda obtener un resultado verdadero. Su símbolo es: ∧
Ejemplo:
Sea el siguiente enunciado
“El coche enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente la batería”

Sean:

p: El coche enciende.
q: Tiene gasolina el tanque.
r: Tiene corriente la batería.

De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica es como sigue:
q ∧ r

Su tabla de verdad es como sigue:

q r q ∧ r
V V V
V F F
F V F
F F F

En la tabla anterior el valor de q= v significa que el tanque tiene gasolina, r= v significa que la batería tiene corriente y p = q ∧ r=v significa que el coche puede encender. Se puede notar que si q o r son falso implica que el auto no tiene gasolina y que por lo tanto no puede encender.

Axioma

Escrito por iitzyochoaad 29-08-2010 en General. Comentarios (0)

En lógica y matemática, un axioma o postulado es una fórmula bien formada de un lenguaje formal que se acepta sin demostración, como punto de partida para demostrar otras fórmulas.

Tradicionalmente, los axiomas se eligen de entre las demás fórmulas por ser "verdades evidentes" y porque permiten deducir a las demás fórmulas deseadas. Sin embargo, no todos los teóricos están de acuerdo con esta aproximación.

En matemática, un axioma no siempre es una verdad evidente, sino una fórmula bien formada utilizada en una deducción para llegar a una conclusión.

Por otro lado, en todas las ciencias (por ejemplo la psicología) los diferentes enfoques o escuelas suelen diferenciarse en una serie de enunciados de carácter filosófico. A cada uno de estos enunciados se les llama axiomas, como definiciones de carácter operacional que delimitan una concepción de cada disciplina (tipo de método científico que utiliza, concepción de su objeto de estudio, etc). Por ejemplo, la cognición, modificación de conducta o Gestalt tienen distinto punto de partida sobre qué es la mente, la personalidad o la conducta y, a partir de estos axiomas, se desarrollo toda la teoría. Como es sabido, toda ciencia tiene unos puntos de partida de carácter filosófico; incluso la física, al considerar que existen reglas constantes que podemos definir. En resumen, una vez más: cada uno de estos enunciados son llamados axiomas.

 

Axiomas lógicos

Éstas son ciertas fórmulas en un lenguaje que son universalmente válidas, esto es, fórmulas que son satisfechas por cualquier estructura y por cualquier función variable, en términos coloquiales, éstos son enunciados que son verdaderos en cualquier mundo posible, bajo cualquier interpretación posible y con cualquier asignación de valores. Usualmente uno toma como axiomas lógicos un conjunto mínimo de tautologías que es suficiente para probar todas las tautologías en el lenguaje.

Ejemplo

En el cálculo proposicional es común tomar como axiomas lógicos todas las fórmulas siguientes, donde \phi \,, \psi \,, y \chi \, pueden ser cualquier fórmula en el lenguaje:

  1. \phi \to (\psi \to \phi) \,
  2. (\phi \to (\psi \to \chi)) \to ((\phi \to \psi) \to (\phi \to \chi)) \,
  3. (\lnot \phi \to \lnot \psi) \to (\psi \to \phi)

Cada uno de estos patrones es un esquema de axiomas, una regla para generar un número infinito de axiomas. Por ejemplo, si p, q, y r son variables proposicionales, entonces p \to (q \to r) \, y (p \to \neg q) \to (r \to (p \to \neg q)) \, son instancias del esquema 1 y por lo tanto son axiomas. Puede probarse que con solamente estos tres esquemas de axiomas y la regla de inferencia modus ponens, alguien puede probar todas las tautologías del cálculo proposicional, también puede probarse que ningún par de estos esquemas es suficiente para probar todas las tautologías utilizando modus ponens. Este conjunto de esquemas axiomáticos también es utilizado en el cálculo de predicados pero son necesarios más axiomas lógicos.

Ejemplo: Sea \mathfrak{L}\, un lenguaje de primer orden. Para cada variable x\,, la fórmula x = x\, es universalmente valida.

Esto significa que, para cualquier símbolo variable x\,, la fórmula x = x\, puede considerarse un axioma. Para no caer en la vaguedad o en una serie infinita de "nociones primitivas", primeramente se necesita ya sea una idea de lo que queremos decir con x = x\, o un definir un uso puramente formal y sintáctico del símbolo =\,, y de hecho, la lógica matemática lo hace.

Ejemplo: Otro ejemplo interesante, es el de la instanciación universal. Para una fórmula \phi\, en un lenguaje de primer orden \mathfrak{L}\,, una variable x\, y un término t\, que es sustituible por x\, en \phi\,, la fórmula \forall x. \phi \to \phi^x_t es válida universalmente.

En términos informales, este ejemplo nos permite afirmar que si conocemos que una cierta propiedad P\, se cumple para toda x\, y que si t\, es un objeto particular en nuestra estructura, entonces deberíamos ser capaces de afirmar P(t)\,. De nuevo, estamos afirmando que la fórmula \forall x. \phi\ \to \phi^x_t es válida, esto es, debemos ser capaces de dar una prueba de este hecho, o mejor dicho, una metaprueba. De hecho, estos ejemplos son metateoremas de nuestra teoría de la lógica matemática ya que nos referimos meramente al concepto de demostración en sí. Además de esto, también podemos tener una generalización existencial:

Esquema axiomático: Para una fórmula \phi\, en un lenguaje de primer orden \mathfrak{L}\,, una variable x\, y un término t\, que es sustituible por x\, en \phi\,, la \phi^x_t \to \exists x. \phi es universalmente válida.

 Axiomas no-lógicos

Los axiomas no-lógicos son fórmulas específicas de una teoría y se aceptan solamente por acuerdo. Razonando acerca de dos estructuras diferentes, por ejemplo, los números naturales y los números enteros puede involucrar a los mismos axiomas lógicos, sin embargo, los axiomas no-lógicos capturan lo que es especial acerca de una estructura en particular (o un conjunto de estructuras). Por lo tanto los axiomas no-lógicos, a diferencia de los axiomas lógicos, no son tautologías. Otro nombre para los axiomas no-lógicos es "postulado".

Casi cualquier teoría matemática moderna se fundamenta en un conjunto de axiomas no-lógicos, se pensaba que en principio cualquier teoría puede ser axiomatizada y formalizada, posteriormente esto se demostró imposible.

En el discurso matemático a menudo se hace referencia a los axiomas no-lógicos simplemente como axiomas, esto no significa que sean verdaderos en un sentido absoluto. Por ejemplo en algunos grupos, una operación puede ser conmutativa y esto puede ser afirmado introduciendo un axioma adicional, pero aún sin la introducción de este axioma se puede desarrollar la teoría de grupos e incluso se puede tomar su negación como un axioma para estudiar los grupos no-conmutativos.

Un axioma es el elemento básico de un sistema de lógica formal y junto con las reglas de inferencia definen un sistema deductivo.

Número racional

Escrito por iitzyochoaad 29-08-2010 en General. Comentarios (0)

En sentido amplio, se llaman números racionales a todo número que puede representarse como el cociente, de dos enteros con denominador distinto de cero (una fracción común). El término «racional» alude a «ración» o «parte de un todo», y no al pensamiento o actitud racional.

Representación gráfica de las fracciones cuyo divisor es 4.

En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónico del dicho número racional a la fracción irreducible, la de términos más sencillos.

Definimos un número racional como un decimal finito o infinito periódico (por ejemplo, el número decimal finito 0,75 es la representación decimal del número racional 3/4. El número decimal infinito periódico 0,333... es la representación decimal del número racional 1/3). El número racional permite resolver ecuaciones del tipo ax = b, cuando a y b son números enteros (con «a» distinto de cero).

El conjunto de los números racionales se denota por \mathbb{Q}, que significa «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números enteros y es un subconjunto de los números reales. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia al conjunto de números fraccionarios.

Los números racionales cumplen la propiedad arquimediana o de densidad, esto es, para cualquier pareja de números racionales existe otro número racional situado entre ellos, propiedad que no estaba presente en los números enteros, por lo que los números racionales son densos en la recta de los números reales.

Número irracional

Escrito por iitzyochoaad 29-08-2010 en General. Comentarios (0)

Número irracional

En matemáticas, un número irracional es cualquier número real que no es racional, es decir, es un número que no puede ser expresado como una fracción \frac{m}{n}, donde m y n son enteros, con n diferente de cero y donde esta fracción es irreducible.

 Notación

A veces [¿quién?] se denota por \mathbb{I} al conjunto de los Números Irracionales. Esta notación no es universal y muchos matemáticos[¿quién?] la rechazan. Las razones son que el conjunto de Números Irracionales no constituyen ninguna estructura algebraica, como sí lo son los Naturales (\mathbb{N}), los Enteros (\mathbb{Z}), los Racionales (\mathbb{Q}), los Reales (\mathbb{R}) y los Complejos (\mathbb{C}), por un lado, y que la \mathbb{I} es tan apropiada para designar al conjunto de Números Irracionales como al conjunto de Números Imaginarios Puros, lo cual puede crear confusión.


   \begin{array}{ll}
    \mathbb{C} & \mbox{Complejos}
    \begin{cases} 
        \mathbb{R} & \mbox{Reales}
        \begin{cases}
            \mathbb{Q} & \mbox{Racionales}
                \begin{cases}
                    \mathbb{Z} & \mbox{Enteros}
                    \begin{cases}
                        \mathbb{N}     & \mbox{Naturales} \\
                        \boldsymbol{0} & \mbox{Cero} \\
                                       & \mbox{Enteros negativos}
                    \end{cases}\\
                                & \mbox{Fraccionarios}
                \end{cases}\\
                       & \mbox{Irracionales}
                            \begin{cases}
                               & \mbox{Algebraicos} \\
                               & \mbox{Trascendentes}
                            \end{cases}
        \end{cases}\\
         & \mbox{Imaginarios}
    \end{cases}
   \end{array}

Clasificación

Tras distinguir los números componentes de la recta real en tres categorías: (naturales, enteros y racionales), podría parecer que ha terminado la clasificación de los números, pero aun quedan "huecos" por rellenar en la recta de los números reales. Los números irracionales son los elementos de dicha recta que cubren los vacíos que dejan los números racionales.

Los números irracionales son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen un periodo definido. De este modo, puede definirse al número irracional como decimal infinito no periódico. En general, toda expresión en números decimales es solo una aproximación en números racionales al número irracional referido, por ejemplo, el número racional 1,4142135 es solo una aproximación a 7 cifras decimales del número irracional raíz cuadrada de 2, el cual posee infinitas cifras decimales que no siguen un periodo.

Entonces, decimos con toda propiedad que el número raíz cuadrada de dos es aproximadamente igual a 1,4142135 en 7 decimales, o bien es igual a 1,4142135 ... , es decir, los tres puntos hacen referencia a los infinitos decimales que hacen falta y que jamás terminaríamos de escribir.

Debido a ello, los números irracionales más conocidos son identificados mediante símbolos especiales; los tres principales son los siguientes:

  1. π (Número "pi" 3,1415 ...): razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.
  2. e (Número "e" 2,7182 ...): \lim _{n \to +\infty} \left( 1 + \frac {1}{n}\right) ^{n}
  3. Φ (Número "áureo" 1,6180 ...): \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

Los números irracionales se clasifican en dos tipos:

1.- Número algebraico: Son la solución de alguna ecuación algebraica y se representan por un número finito de radicales libres o anidados; si "x" representa ese número, al eliminar radicales del segundo miembro mediante operaciones inversas, queda una ecuación algebraica de cierto grado. Todas las raíces no exactas de cualquier orden son irracionales algebraicos.

Por ejemplo, el número áureo es una de las raíces de la ecuación algebraica:

x2x − 1 = 0, por lo que es un número irracional algebraico.

2.- Número trascendente: No pueden representarse mediante un número finito de raíces libres o anidadas; provienen de las llamadas funciones trascendentes: trigonométricas, logarítmicas y exponenciales. También surgen al escribir números decimales no periódicos al azar o con un patrón que no lleva periodo definido, respectivamente, como los dos siguientes:

0,193650278443757 ...

0,101001000100001 ...

Los llamados números trascendentes tienen especial relevancia ya que no pueden ser solución de ninguna ecuación algebraica. Los números pi y e son irracionales trascendentes, puesto que no pueden expresarse mediante radicales.

Los números irracionales no son numerables, es decir, no pueden ponerse en biyección con el conjunto de los números naturales. Por extensión, los números reales tampoco son contables ya que incluyen el conjunto de los irracionales.